ベクトルとは何か

ベクトルは数値を順番に並べたものだ。

2Dベクトル — 平面上の矢印

[3, 4]はx方向に3、y方向に4移動する矢印だ。地図で「東に3km、北に4km」と言うのと同じ。

2つのベクトル間の距離を求めれば「どれだけ離れているか」、角度を求めれば「どれだけ似た方向か」がわかる。この角度ベースの類似度がコサイン類似度だ。

3Dベクトル — 空間の中の点

[3, 4, 2]は3次元空間の点だ。x、yにz軸（高さ）が加わっただけで、距離と角度の計算は2Dと同じ。

ここまでは人間の目で直接見える。2Dは紙の上に、3DはThree.jsのようなツールで回転させながら見れる。

高次元ベクトル — 意味の空間

[0.023, -0.15, 0.41, ..., -0.33] — 数値が1536個。もう目では見えない。

しかし数学は変わらない。2Dで2点間の距離を求める公式が1536Dでもそのまま動く。次元が増えただけで、「近いものは似ていて、遠いものは違う」という原理は同じだ。

AIの埋め込みが1536次元な理由は単純 — 2〜3次元では「猫と犬は似ている」程度しか表現できず、「ペルシャ猫は高級で野良猫は荒々しい」のようなニュアンスを入れるには次元がたくさん必要だ。

高次元を視覚化する方法

1536次元を直接見ることはできないが、2D/3Dに「圧縮」して見る方法がある。

t-SNE: 近い点は近く、遠い点は遠く保ちながら2Dに投影する。クラスター構造の把握に良い。

UMAP: t-SNEより速く、全体構造をよく保存する。大量データに適している。

PCA: 情報量が最も多い軸2〜3本だけ残して残りを捨てる。最速だが情報損失が大きい。

この圧縮可視化で「似た画像同士が固まっている」のが見えれば、埋め込みが正しく機能している証拠だ。

なぜ推薦システムに重要か

推薦システムのほぼ全ての手法は結局「ユーザーベクトルとアイテムベクトルの距離を求めること」だ。ベクトルを理解すれば、Matrix Factorization、Two-Tower、埋め込みベースの検索が全て同じ原理の上にあることが見える。